Un pequeño paso para Neil

Pero para mi es muy grande…

Conjetura de Poincaré y videojuegos

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Hace unos días escuché el podcast del programa de BBC4 In our time dedicado a la conjetura de Poincaré, uno de esos problemas que han dejado insomnes a los matemáticos durante el último siglo. Para mi sorpresa creo que logré entender alguna cosa, lo que me ha impulsado a escribir una entrada al estilo Curioso pero inútil. La mayor parte de las cosas que explico vienen del programa de radio, donde 3 profesores universitarios de matemáticas estuvieron hablando sobre Poincaré y su conjetura durante 40 minutos. Si hay errores son todos por mi culpa, no soy matemático.

Un buen día os planteáis una pregunta interesante, ¿es este universo abierto o cerrado? La pregunta no es nada sencilla de responder y es un debate que mantienen los físicos. Supongamos que es cerrado, ¿que forma tendría? La respuesta que a uno le sale al leer esta pregunta es casi inmediata, ¡una esfera! Esa parece la más evidente, pero ¿es así?

Todas estas respuestas son muy difíciles de responder. Como ya os habéis imaginado están relacionadas con la famosa conjetura de Poincaré y, como ya he dicho, a los matemáticos les ha costado unos 100 años responderla. Cuando algo es más duro de lo que uno puede masticar, lo mejor es ablandarlo. Vamos a ablandar el problema recurriendo a algo familiar, los videojuegos. Sorprendéntemente hay más matemáticas en el Galaxian y el Asteroides de los que uno podría pensar a primera vista.

Además de usar juegos para hacer más llevadero el asunto vamos a hacer algo más importante, en lugar de tratar el problema en 3 dimensiones, nuestro mundo, lo reduciremos a un mundo bidimensional, 2D.

El mundo de Asteroides es plano. Lo mejor es que antes de seguir leyendo dediquéis a jugar un rato a Asteroides:

 

asteroides.jpg
(Haced click sobre la imagen para jugar)

Si habéis jugado un rato habréis comprobado que el mundo de Asteroides es plano, solo tiene dos dimensiones. Pero hay algo sorprendente, si dirigís la nave hacia la derecha, cuando llega al borde en lugar de pararse, la nave sale por el otro lado. Lo mismo ocurre si nos dirigimos hacia arriba, solo que salimos por abajo. Se trata de un universo cerrado, no podemos escapar de él y tiene límites. De hecho el universo de Asteroides es la ¡superficie de una esfera! Imaginaros que estáis jugando sobre la superficie de una pelota, las trayectorias de la nave y de los asteroides son iguales que las del juego.

asteroides.png

La cosa tiene su interés porque para comprobar que el espacio es cerrado lo que hemos hecho es “alejarnos” para comprobar que el universo de Asteroides es la superficie de una esfera. ¿Cómo nos hemos “alejado”? Metiendo ese mundo bidimensional en un espacio tridimensional. ¡Vaya! Parece que para saber si un universo es cerrado o no necesitamos irnos a un espacio con una dimensión mayor. En realidad no, jugando al Asteroides ya habíamos comprobado que el universo era cerrado. Al irnos a las 3 dimensiones lo que hemos comprobado es que tiene la forma de una esfera o algo parecido.

¿Qué pasa con el mundo de Galaxian? La primera impresión es que es la superficie de una esfera, como con Asteroides. Al fin de al cabo, no es más que un arcade 2D como Asteroides en el que manejamos una nave espacial y mientras nos defendemos. Antes de seguir leyendo, lo mejor es que de dediques unos minutos a jugar a Galaxian:

galaxian.jpg
(Haced clic sobre la imagen para jugar)

Nuevamente nos encontramos con un mundo bidimensional pero diferente del de Asteroides. Nuestra nave va de derecha a izquierda y las naves atacantes van de arriba a abajo. Pero con una diferencia, el universo de Galaxian es ¡una rosquilla! O, como les gusta llamarlo a los matemáticos un toro.

galaxian.png

Nuevamente sabemos que es un toro porque nosotros estamos en un universo tridimensional. Realmente resultaría muy complicado para la nave de Galaxian saber que está sobre la superficie de un toro en lugar de sobre la superficie de una esfera.

Aquí es donde interviene Poincaré. Propuso un método muy sencillo para ver si es una esfera o un toro. Solo que que coger un hilo y hacer un lazo sobre nuestro universo. Eso es sencillo, solo tienes que pedirle a un amigo que coja un extremo del hilo y que se quede quieto. A continuación echamos a andar en una dirección con la bobina de hilo hasta que volvemos a encontrarle. ¡Recordemos que estamos en universos cerrados! Ya solo nos queda hacer el lazo y estirar del extremo libre.

Si logramos recoger todo el hilo es que estamos sobre una esfera.

 

esfera.png

Si no lo logramos, si queda anudado sobre el universo, es que estamos sobre un toro.

 

toro.png

He representado los lazos por encima de las superficies para que se vean más claros. Las flechas azules representan hacia donde estiraríamos.

Como habéis visto hemos logrado, con ayuda de un par de videojuegos y una bobina de hilo mental, determinar la forma de un par de universos bidimensionales.

La siguiente pregunta es, ¿podemos extender este razonamiento a las tres dimensiones? Y más concretamente, ¿nos serviría este método para determinar si nuestro universo es una hiperesfera, un hipertoro o algo más complejo? Nuestro universo al ser tridimensional sería una cuerpo en 4 dimensiones, es decir una hiperesfera o un hipertoro. Lo malo es que para poder apreciarlo tendríamos que ir a un universo tetradimensional. Al igual que necesitamos un universo tridimensional para poder apreciar los universos bidimensionales de los videojuegos.

Este problema es la conjetura de Poincaré:

El teorema sostiene que la esfera tridimensional, también llamada 3-esfera o hiperesfera, es la única variedad compacta tridimensional en la que todo lazo o círculo cerrado se puede deformar (transformar) en un punto.
Conjetura de Poincaré”, según la Wikiedia

Confío en que después de todo ésto entiendas, aunque sea de manera intuitiva, la conjetura. Aunque en realidad ya no es una conjetura, es un teorema ya que fue demostrada en 2002 por el matemático ruso Grigori Perelman, 98 años después de que fuese expresada.

Como nota final comentar que curiosamente el caso tridimensional ha sido el que más a costado a los matemáticos. Parecería que un numero mayor de dimensiones haría el problema más complejo, pero no es así.

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Written by Javier Arántegui

14 de noviembre de 2006 a 12:30 am

Publicado en Ciencia

16 comentarios

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  1. En realidad, la conjetura de Poincaré se aplicaba a todas las dimensiones, pero el caso que quedaba por probar era el de 3D. La razón “cualitativa” es que en 2D o 1D hay poca “libertad de movimientos”, de modo que es fácil de probar, mientras que en 4 o más dimensiones (4D también tuvo sus dificultades) las dimensiones extra permiten llegar enseguida a la conclusión. Es en 3D donde la cosa quedó “atascada”…

    Juan de Dios

    14 de noviembre de 2006 at 12:26 pm

  2. Por cierto, ¡excelente forma de introducir la topología!

    Juan de Dios

    14 de noviembre de 2006 at 12:27 pm

  3. Flipante el artículo. He estado a punto de reírme cuando dice que el Asteroides es una esfera, pero está tan bien explicado que se entiende perfectamente.
    Curiosísimo.

    La verdad es que uno de los problemas de las matemáticas es que para un tío que no sepa más allá de lo que se enseña en el instituto es completamente imposible explicarle muchas cosas.

    Warren Keffer

    16 de noviembre de 2006 at 7:55 pm

  4. Creo que lo más dificil de este tema para la gente común es imaginarse el espacio en más de tres donensiones. Habría que empezar por explicar esa realidad y de ahí hacia el resto de la explicación.

    Eduardo

    18 de agosto de 2009 at 3:44 pm

  5. “De hecho el universo de Asteroides es la ¡superficie de una esfera!”

    Creo que en ese videojuego también la topología es la de un toro.

    Percero

    27 de junio de 2010 at 9:20 am

  6. Cierto, Asteroids se juega en un toro, no en una esfera, la prueba está en que si tu te vas al polo norte, no apareces en el polo sur de repente. De hecho, una esfera ni siquiera es una variedad plana, si jugaramos sobre ella, tendríamos que alterar velocidades, aceleraciones y direcciones… la de problemas que da hacer una representación plana de una esfera!!! y si no, que se lo pregunten a los cartógrafos.

    http://aojodebuencubero.blogspot.com/2006/10/el-universo-de-los-videojuegos-y-su.html

    Sergio

    27 de junio de 2010 at 10:54 am

  7. Efectivamente, en ambos la topología es un toro. Si fuera una esfera, los elementos serían más grandes al estar cerca de los polos;

    Edark

    27 de junio de 2010 at 11:10 am

  8. Como dicen Percero y Sergio el univeso del Asteroids es un toro, ya que a cada pixel de un lado le corresponde otro pixel del lado opuesto, en un esfera todos llegan a juntar en un punto lo cual dificulta su representacion en 2D. De hecho segun como lo veas al salirte por el lado superior de la pantalla deberias de volver a aparecer por el lado superior pero cambiando el sentido y el angulo

    En el caso de Galaxian que solo puedes salirte por los lados seria un plano que ha sido curvado alrededor de un cilindro.

    De toda formas el articulo es una forma muy amena enseñar y me ha gustado 🙂

    Cubi

    27 de junio de 2010 at 11:14 am

  9. […] Conjetura de Poincaré y videojuegos up3n.wordpress.com/2006/11/14/conjetura-de-poincare-y-videoj…  por victu hace 2 segundos […]

  10. Cierto, Asteroids es un toro. Un plano como la pantalla de Asteroids se puede convertir fácilmente en un toro (donut). Coge un papel unes 2 de sus bordes y haces un cilindro, luego unes los 2 extremos del cilindro y ya tienes el toro.

    En la circunferencia la cosa es mucho más complicada.

    Flint

    28 de junio de 2010 at 1:42 pm

  11. Hola, me parece un super buen post, saludos impre los leo y los amo!!

    Gabriel Aranedag

    29 de junio de 2010 at 4:00 am

  12. Cuchara, cuhillo, ánimo chikillos!

    Gabriel Aranedag

    29 de junio de 2010 at 4:01 am

  13. Muy original y bien explicado.

    Excelente

    Dani

    29 de junio de 2010 at 6:47 am

  14. […] y recogerlo totalmente. Si hace usted lo mismo en el mundo-rosquilla y el viaje que usted ha hecho es éste … …, ya puede tirar lo que quiera, que no recogerá el cordel. Así que, puede […]

  15. Gracias por la explicacion, para mi que tengo 45 años es perfecta.
    El problema es que voy a tener que buscar esos videojuegos ochenteros para explicarselo a mi hijo. jaja es broma.
    Gracias mil gracias

    aldo Lucchetti

    2 de mayo de 2011 at 7:35 pm


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